Modelo EOQ con Demanda Probabilística

Se supone que la demanda se conoce sólo en términos de probabilidades, ya que no es posible conocer los valores exactos de la demanda. El modelo más sencillo considera aplicable el teorema central del límite, por lo cual estima que la demanda sigue una distribución normal.

En tal caso, utilizando las tablas de la distribución normal estandarizada es posible determinar el punto de reorden, o el stock de seguridad que se debe mantener, de modo que se limite a cierto porcentaje la posibilidad de que se produzcan rupturas de stocks.

El tamaño del stock de seguridad se determina de modo que la probabilidad de agotamiento de las existencias durante el tiempo de entrega (el periodo entre colocar y recibir un pedido) no exceda un valor predeterminado.

Sean:

r        Nivel de Reorden.

SS       Stock de Seguridad.

L        tiempo de entrega.

µL      demanda durante el tiempo de entrega

σL      desviación estándar de la demanda en el tiempo de entrega.

α        nivel tolerable de error.

La demanda durante el tiempo de entrega L se suele describir con una función de densidad de probabilidades por unidad de tiempo (es decir por día o por semana), a partir de la que se puede determinar la distribución de la demanda durante L. Dado que la demanda por unidad de tiempo es normal, con media D y desviación estándar σ, la media μL y la desviación estándar σL de la demanda, durante el tiempo de entrega L, se calculan de la siguiente forma:

Debemos tener en cuenta que en el 50% de las veces la demanda superará las existencias, lo que generará una rotura de stock; y en otro 50% las existencias superarán a la demanda. Para reducir esa probabilidad de rotura de stock se hace necesario determinar el nivel tolerable de error (α), el cual puede calcularse como la relación de la cantidad de veces en que es tolerable que la demanda supere a las existencias entre el total de veces. Por ejemplo si una empresa tiene 20 pedidos y se considera tolerable que solo en uno la demanda supere a las existencias, tenemos entonces:

Podemos definir el nivel de reorden como:

En donde el stock de seguridad (SS) está definido como:

Veamos la aplicación de este modelo con el siguiente ejemplo:

C_p=$12

C_u=$6

C_mi=20% C_u

L=1 semana

µ=154 Uds

σ=25 Uds

α=5%

Primero calculamos la cantidad Q* a pedir: Según la tabla de distribución normal, tenemos que Z_0.05=1.645

Cuando el inventario llegue a 195 unidades, se debe realizar un pedido de 400 unidades.

Referencias:

http://es.scribd.com/doc/36824149/MODELOS-E-INVENTARIOS-PROBABILISTICOS

http://www.azc.uam.mx/alumnos/tradeoff/docu/adm.pdf

Modelo EOQ con Descuento por Cantidades.

Este modelo parte de los mismos supuestos del modelo EOQ sin faltante; sin embargo este modelo se diferencia en que existe un descuento en el Costo Unitario (C_u) dependiendo del volumen a adquirir.

Para ilustrar esta situación veamos el siguiente ejemplo:

Una empresa tiene una demanda (D) de 5000 unidades e incurre en un costo por hacer un pedido (C_p) de $49.⁰⁰, tiene un costo de mantener en inventario (C_mi) del 20% del costo unitario. Si la empresa adquiere hasta 999 unidades el costo unitario es de $5.⁰⁰; si adquiere entre 1000 y 1999 unidades, recibe un descuento del 3% sobre el costo unitario y si adquiere 2000 o más, recibe un descuento del 5% como aparece en la tabla:

Cantidades	Descuento	Costo Unitario
0 - 999	0%	$ 5.00
1000 - 1999	3%	$ 4.85
2000 - ∞	5%	$ 4.75

Para saber cuál es la cantidad optima a pedir (Q*), debemos calcular este valor para cada uno de los intervalos:

*Nótese que es necesario pedir al menos 1000 unidades para este en el intervalo del rango del descuento.

** Nótese que es necesario pedir al menos 2000 unidades para este en el intervalo del rango del descuento.

Ahora para identificar qué cantidad debemos pedir, calculamos el valor del Costo Total Anual (CTA) para cada uno de estos Q*; recordemos la fórmula de CTA:

Como puede observarse, cuando se piden 2000 unidades se incurre en el menor costo total, por este criterio escogeremos Q*=2000 unidades.

En general, para hallar el Q*, tendremos en cuenta los siguientes criterios:

1.    Calcular el Q* para cada rango de descuento.

2.    En caso de que el Q* este fuera del rango, seleccione el Q* teniendo en cuenta la cantidad máxima (o mínima dependiendo del caso) a pedir para incurrir en dicho descuento.

3.    Calcular el CTA para cada Q*  hallado, y escogeremos el que represente el menor Costo Total.  

Modelo EOQ (Con faltante)

Este modelo mantiene los mismos supuestos del anterior con la única diferencia de que este modelo sí admite los faltantes. Esto puede interpretarse como que el consumidor le da una prorroga al comercializador para que este reabastezca su inventario para poder cumplir con el pedido. Gráficamente podemos definir este modelo como:

En este modelo, el Costo Total de Inventario seria la suma del Costo de Adquisición más el Costo de Hacer un Pedido más el Costo de Mantener en inventario con la adición del Costo por Faltante. Algebraicamente podemos definir esta fórmula como:

 

Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:

Reemplazándolos en la ecuación inicial, tenemos:

Ahora multiplicamos por N pedidos que se realizan en un año y obtenemos el Costo Total Anual:

En este escenario buscamos las cantidades optimas (Q*) y faltantes óptimos (S*) que hagan la función costo total anual un mínimo, por lo que debemos derivar parcialmente con respecto a S y a Q, igualar a cero y resolver el sistema de ecuaciones para hallar estos valores óptimos.

Derivamos con respecto a S e igualamos a cero

 

Y  despejamos

Resultado de la derivada con respecto a Q

Reemplazando (1) en (3):

Multiplicando cada miembro de la ecuación en ambos lados por Q² tenemos:

Reemplazando (2) en (4):

Tomamos la ecuación (5) y la reemplazamos en la (2), para hallar el valor de Q óptimo.